Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\forall x

Câu hỏi số 410716:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}.\)

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}.\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}.\)

D. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410716

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\), sử dụng công thức \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \)

- Từ đó tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left[ {2{{\cos }^2} - 1 + 2} \right]dx = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} } \\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} \)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.