Xét các số thực a, b, x thỏa mãn \(a > 1,\)\(b > 1,\)\(0 < x \ne 1\) và \({a^{{{\log }_b}x}} =

Câu hỏi số 410720:

Vận dụng cao

Xét các số thực a, b, x thỏa mãn \(a > 1,\)\(b > 1,\)\(0 < x \ne 1\) và \({a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}\left( {{x^2}} \right)}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln \left( {ab} \right).\)

A. \(\dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{4}.\)

B. \(\dfrac{e}{2}.\)

C. \(\dfrac{1}{4}.\)

D. \( - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410720

Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất của hàm số mũ: \({a^{{{\log }_b}c}} = {c^{{{\log }_b}a}}\) để tìm mối quan hệ giữa a và b.

- Thay giá trị của \(a;b\) vào biểu thức P rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có \({a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}\left( {{x^2}} \right)}} \Rightarrow {x^{{{\log }_b}a}} = {x^{2{{\log }_a}b}}\)

\( \Rightarrow {\log _b}a = 2{\log _a}b = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}}\)\( \Leftrightarrow \log _b^2a = 2\) \( \Leftrightarrow {\log _b}a = \sqrt 2 \Rightarrow a = {b^{\sqrt 2 }}\) (do \(a > 1,\,\,b > 1\) nên \({\log _b}a > {\log _b}1 = 0\))

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln \left( {ab} \right)\\\,\,\,\,\, = {\ln ^2}\left( {{b^{\sqrt 2 }}} \right) + {\ln ^2}b - \ln \left( {{b^{\sqrt 2 }}.b} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt 2 \ln b} \right)^2} + {\ln ^2}b - \ln \left( {{b^{\sqrt 2 + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = 3{\ln ^2}b - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\ln b\\\,\,\,\,\, = 3\left( {{{\ln }^2}b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{3}\ln b} \right)\\\,\,\,\,\, = 3\left[ {{{\ln }^2}b - 2.\ln b.\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6} + {{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}} \right] - 3.{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 3{\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall b > 0\) \( \Rightarrow 3{\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}} \ge - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow P \ge - \dfrac{{3 + 2\sqrt {12} }}{{12}}\).

Vậy \({P_{\min }} = - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.