Cho hai số dương \(x,\,y\), có \(x + y = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{y^2}}}} \right).\)

Câu 411143: Cho hai số dương \(x,\,y\), có \(x + y = 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{y^2}}}} \right).\)

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(18\)

D. \(10\)

Câu hỏi : 411143

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức \(B.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x,y\) ta được:

\(x + y \ge 2\sqrt {xy} \)\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le xy\)\( \Rightarrow 9 \le 1 + \frac{2}{{xy}}\)

Vậy \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(9\)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}B = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.\frac{{{y^2} - 1}}{{{y^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{x^2}{y^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1}}{{{x^2}.{y^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{x^2}{y^2} - {{\left( {x + y} \right)}^2} + 2xy + 1}}{{{x^2}{y^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{x^2}{y^2} - 1 + 2xy + 1}}{{{x^2}{y^2}}} = 1 + \frac{2}{{xy}}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x,\,y\) ta có: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \)\( \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 \ge 4xy \Leftrightarrow \frac{1}{4} \ge xy \Leftrightarrow \frac{2}{{\frac{1}{4}}} \le \frac{2}{{xy}}\\ \Leftrightarrow 8 \le \frac{2}{{xy}} \Leftrightarrow 9 \le 1 + \frac{2}{{xy}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)

Vậy \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(9\) khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây