Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC,\) đường tròn cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt ở \(D\) và \(E;\,\,BE\) và \(CD\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp
b) Chứng minh \(AC.AE = AB.AD.\)
c) \(AH\) kéo dài cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)
Câu 411142: Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC,\) đường tròn cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt ở \(D\) và \(E;\,\,BE\) và \(CD\) cắt nhau tại \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp
b) Chứng minh \(AC.AE = AB.AD.\)
c) \(AH\) kéo dài cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)
a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) có tổng hai góc đối \(\angle ADH;\angle AEH\) bằng \(180^\circ \)
b) Chứng minh \(\Delta ABE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\) suy ra tỉ lệ \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow AB.AD = AC.AE\)
c) Chứng minh tứ giác \(HECF\) nội tiếp suy ra \( \Rightarrow \angle HEF = \angle HCF\) mà \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp có \(\angle HCF = \angle DEB.\)
\( \Rightarrow \angle HEF = \angle DEB \Rightarrow EH\) là phân giác \(\angle DEF\)
Chứng minh tương tự \(DH\) là phân giác \(\angle EDF\)
Suy ra \(H\) là giao 2 đường phân giác của \(\Delta DEF \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)
-
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp.
Ta có: \(\angle BDC,\,\,\angle BEC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle BDC = \angle BEC = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ADHE\) ta có: \(\angle ADE + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh \(AC.AE = AB.AD.\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AEB = \angle ADC\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle BAC\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Leftrightarrow AB.AD = AC.AE\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) \(AH\) kéo dài cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)
Do \(\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ \left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\BE \bot AC\end{array} \right.\)
Mà \(BE \cap CD = H\) \( \Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta ABC.\)
Lại có: \(F \in AH\)\( \Rightarrow AF \bot BC\)\( \Rightarrow \angle HFC = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \angle HFC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \Rightarrow HECF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle HEF = \angle HCF\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF\))
Mà \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp có \(\angle HCF = \angle DEB\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))
\( \Rightarrow \angle HEF = \angle DEB\)\( \Rightarrow EH\) là phân giác \(\angle DEF\)
Chứng minh tương tự ta có: \(DH\) là phân giác \(\angle EDF\)
\( \Rightarrow H\) là giao 2 đường phân giác của \(\Delta DEF\)
\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
