Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC,\) đường

Câu hỏi số 411142:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC,\) đường tròn cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt ở \(D\) và \(E;\,\,BE\) và \(CD\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp

b) Chứng minh \(AC.AE = AB.AD.\)

c) \(AH\) kéo dài cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411142

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) có tổng hai góc đối \(\angle ADH;\angle AEH\) bằng \(180^\circ \)

b) Chứng minh \(\Delta ABE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\) suy ra tỉ lệ \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow AB.AD = AC.AE\)

c) Chứng minh tứ giác \(HECF\) nội tiếp suy ra \( \Rightarrow \angle HEF = \angle HCF\) mà \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp có \(\angle HCF = \angle DEB.\)

\( \Rightarrow \angle HEF = \angle DEB \Rightarrow EH\) là phân giác \(\angle DEF\)

Chứng minh tương tự \(DH\) là phân giác \(\angle EDF\)

Suy ra \(H\) là giao 2 đường phân giác của \(\Delta DEF \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp.

Ta có: \(\angle BDC,\,\,\angle BEC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle BDC = \angle BEC = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ADHE\) ta có: \(\angle ADE + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh \(AC.AE = AB.AD.\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AEB = \angle ADC\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle BAC\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Leftrightarrow AB.AD = AC.AE\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) \(AH\) kéo dài cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)

Do \(\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ \left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\BE \bot AC\end{array} \right.\)

Mà \(BE \cap CD = H\) \( \Rightarrow H\) là trực tâm \(\Delta ABC.\)

Lại có: \(F \in AH\)\( \Rightarrow AF \bot BC\)\( \Rightarrow \angle HFC = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \angle HFC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \Rightarrow HECF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle HEF = \angle HCF\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF\))

Mà \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp có \(\angle HCF = \angle DEB\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))

\( \Rightarrow \angle HEF = \angle DEB\)\( \Rightarrow EH\) là phân giác \(\angle DEF\)

Chứng minh tương tự ta có: \(DH\) là phân giác \(\angle EDF\)

\( \Rightarrow H\) là giao 2 đường phân giác của \(\Delta DEF\)

\( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link