Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m =

Câu hỏi số 411303:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ {1;9} \right]\).

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(5\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411303

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _3}x\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Cô lập \(m\), tìm điều kiện để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _3^2x - m{\log _9}{x^2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - m{\log _{{3^2}}}{x^2} + 2 - m = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - m{\log _3}x + 2 - m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}x\), với \(1 \le x \le 9 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\), phương trình trở thành \({t^2} - mt + 2 - m = 0\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \({t^2} - mt + 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right]\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 2\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + 2}}{{t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left[ {0;2} \right]\).

Xét hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t.\left( {t + 1} \right) - \left( {{t^2} + 2} \right)}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\).

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1 + \sqrt 3 \in \left[ {0;2} \right]\\
t = - 1 - \sqrt 3 \notin \left[ {0;2} \right]
\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 2,\,\,f\left( 2 \right) = 2,\,\,f\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = - 2 + 2\sqrt 3 \).

Do đó phương trình (*) có nghiệm \(m \in \left[ { - 2 + 2\sqrt 3 ;2} \right]\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2\).

Vậy có 1 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.