Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S. Hình

Câu hỏi số 411580:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc AD sao cho HA = 3HD. Biết \(SA = 2a\sqrt 3 \), SC tạo với đáy một góc \({30^0}\). Gọi M là trung điểm AB. Tính \({d_{\left[ {M;\left( {SBC} \right)} \right]}}\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt {33} }}{{11}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {66} }}{{22}}\)

C. \(\dfrac{{2a\sqrt {66} }}{{11}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:411580

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Xác định khoảng cách.

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Đặt \(SH = x\). Tính \(HC,\,\,SC,\,\,AB,\,\,BH,\,\,SB,\,\,BC\) theo \(x\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBC\) thiết lập phương trình giữa \(x,\,\,a\). Giải phương trình tìm \(x\) theo \(a\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài MH cắt \(BC\) tại \(N\), kẻ \(HK//AB//CD\,\,\left( {K \in BC} \right)\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MN}}{{NH}} = \dfrac{{MB}}{{HK}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(HN\).

Ta có: \(HM \cap \left( {SBC} \right) = N\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MN}}{{HN}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HI \bot SK\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HK\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow BC \bot HI\\\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SK\\HI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HI\end{array}\)

+ Đặt \(SH = x\).

+ \(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {30^0}\).

+ \(\Delta SHC:\,\,HC = SH.cot{30^0} = x\sqrt 3 \), \(SC = \dfrac{{SH}}{{\sin {{30}^0}}} = 2x\).

+ \(\Delta SAH\): \(AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \sqrt {12{a^2} - {x^2}} \)

\( \Rightarrow AD = \dfrac{4}{3}AH = \dfrac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} \), \(DH = \dfrac{1}{4}AD = \dfrac{1}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} \).

+ \(\Delta SAD:\,\,SD = \dfrac{{SH.AD}}{{SA}} = \dfrac{{x.\dfrac{4}{3}\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{2a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}\).

+ \(\Delta CDH:\,\,CD = \sqrt {C{H^2} - D{H^2}} = \sqrt {3{x^2} - \dfrac{{12{a^2} - {x^2}}}{9}} = \dfrac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}\).

+ \(CD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CD \bot SD \Rightarrow \Delta SCD\) vuông tại \(D\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S{D^2} + C{D^2} = S{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2x\sqrt {12{a^2} - {x^2}} }}{{3a\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2\sqrt {7{x^2} - 3{a^2}} }}{3}} \right)^2} = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{x^2}\left( {12{a^2} - {x^2}} \right)}}{{27{a^2}}} + \dfrac{{4\left( {7{x^2} - 3{a^2}} \right)}}{9} = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{48{a^2}{x^2} - 4{x^4} + 84{x^2}{a^2} - 36{a^4}}}{{27{a^2}}} = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 132{a^2}{x^2} - 4{x^4} - 36{a^4} = 108{a^2}{x^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^4} + 36{a^4} - 24{a^2}{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} - 6{a^2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = 6{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 = SH\\ \Rightarrow CD = \dfrac{{2\sqrt {21{a^2} - 3{a^2}} }}{3} = 2\sqrt 2 a\end{array}\)

+ \(\Delta SHK:\,\,HI = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {3{a^2} + 8{a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {66} }}{{11}}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.