Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), cạnh huyền \(AB\) bằng 3. Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(SB = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\)?

Câu 412360: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), cạnh huyền \(AB\) bằng 3. Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(SB = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\)?

A. \(V = \dfrac{3}{2}\)

B. \(V = \dfrac{1}{4}\)

C. \(V = \dfrac{3}{4}\)

D. \(V = 1\)

Câu hỏi : 412360

Phương pháp giải:

- Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,BC\).

- Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\), áp dụng định lí Pytago tính \(BM\), từ đó suy ra độ dài \(BG\).

- Tiếp tục áp dụng định lí Pytago tính độ dài đường cao \(SG\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}}\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) có \(AB = 3\) nên \(AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\), khi đó ta có \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AM = MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BCM\) có:

\(BM = \sqrt {B{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {\dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{8}} = \sqrt {\dfrac{{45}}{8}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{4}\).

\( \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt {10} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(SBG\) có:

\(SG = \sqrt {S{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {\dfrac{{14}}{4} - \dfrac{{10}}{4}} = 1\).

Lại có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{9}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.1.\dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.