Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) đều, hình chiếu
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\). Tam giác \(ABC\) đều, hình chiếu vuông góc \(H\) của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(SD\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) góc \({30^0}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi \(O = AC \cap BD\), \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Dựa vào tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), tính độ dài các đoạn thẳng \(BH,\,\,HD\).
- Xác định góc giữa \(SD\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SD\) và hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
- Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(AH\).
- Tính \({S_{\Delta ABC}}\), từ đó suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}}\).
- Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3 \) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\(H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{2}{3}BO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow HD = BD - BH = a\sqrt 3 - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HD\) là hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;HD} \right) = \angle SDH = {30^0}\).
Xét tam giác vuông \(SHD\) có: \(SH = HD.\tan {30^0} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
