Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại

Câu hỏi số 412363:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD\). Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = \dfrac{{8\sqrt 6 {a^3}}}{9}\)

B. \(V = 8\sqrt 2 {a^3}\)

C. \(V = 8\sqrt 6 {a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412363

Phương pháp giải

- Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{A^2} = AH.HD\) biểu diễn \(x\) theo \(a\).

- Tính chiều cao \(SH\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{H^2} = AH.HD\) .

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\), từ đó tính độ dài \(HC\).

- Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông tính \(CD\) và tính \({S_{ABCD}}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD\\ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3x.4x = 12{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = 4a,\,\,AH = 3a,\,\,HD = a\).

Lại có: \(S{H^2} = AH.HD = 3a.a = 3{a^2}\) \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHC\) có: \(HC = SH.cot{30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CDH\) có:

\(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.CD = 4a.2a\sqrt 2 = 8\sqrt 2 {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .8\sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.