Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD\). Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

Câu 412363: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD\). Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = \dfrac{{8\sqrt 6 {a^3}}}{9}\)

B. \(V = 8\sqrt 2 {a^3}\)

C. \(V = 8\sqrt 6 {a^3}\)

D. \(V = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)

Câu hỏi : 412363

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{A^2} = AH.HD\) biểu diễn \(x\) theo \(a\).

- Tính chiều cao \(SH\), sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(S{H^2} = AH.HD\) .

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\), từ đó tính độ dài \(HC\).

- Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông tính \(CD\) và tính \({S_{ABCD}}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(AD = 4x \Rightarrow AH = 3x,\,\,HD = x\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD\\ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3x.4x = 12{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = 4a,\,\,AH = 3a,\,\,HD = a\).

Lại có: \(S{H^2} = AH.HD = 3a.a = 3{a^2}\) \( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 \).

Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {30^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHC\) có: \(HC = SH.cot{30^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CDH\) có:

\(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AD.CD = 4a.2a\sqrt 2 = 8\sqrt 2 {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .8\sqrt 2 {a^2} = \dfrac{{8{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.