Cho số thực a. Chứng minh rằng: + + ≥ 3

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 41265:

Cho số thực a. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a^{2}-2a+1}$ + $\sqrt{2a^{2}-(\sqrt{3}-1)a+1}$ + $\sqrt{2a^{2}+(\sqrt{3}+1)a+1}$ ≥ 3

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41265

Giải chi tiết

$\sqrt{2a^{2}-2a+1}$ + $\sqrt{2a^{2}-(\sqrt{3}-1)a+1}$ + $\sqrt{2a^{2}+(\sqrt{3}+1)a+1}$ ≥ 3

⇔ $\sqrt{a^{2}+(a-1)^{2}}$ + $\sqrt{\left ( a-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( a+\frac{1}{2} \right )^{2}}$ + $\sqrt{\left ( a+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\left ( a+\frac{1}{2} \right )^{2}}$ ≥ 3 (1)

Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ ), C(- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ ), M(a; a)

Khi đó, (1) ⇔ MA + MB + MC ≥ 3 (2)

Tam giác ABC đều tâm O và OA = OB = OC = 1

Suy ra (2) tương đương MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC (3)

Ta chứng minh (3).

Thực hiện phép quay tâm A góc 60⁰.

C → C', M→M'

Suy ra MA = MM', MC = M'C'

Khi đó: MA + MB + MC = MB + MM' + M'C' ≥ BC' = OA + OB + OC

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M ≡ O ⇔ a = 0.

Ghi chú: có thể giải bằng phương pháp vec tơ, không dùng các bất đẳng thức không có trong sách giáo khoa để chứng minh.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.