Có tất cả bao nhiêu cặp số \(\left( {a;b} \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương thỏa

Câu hỏi số 412827:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu cặp số \(\left( {a;b} \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương thỏa mãn \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3}\) \( = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412827

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình, xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\).

- Chứng minh hàm số \(y = f\left( t \right)\) đơn điệu trên khoảng xác định của nó, từ đó suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\).

- Đưa phương trình chứa \(a,\,\,b\) về dạng tích, tìm mối quan hệ đơn giản giữa \(a,\,\,b\) và dựa vào điều kiện \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\) tìm số cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 3ab\left( {a + b} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left[ {3\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)} \right] + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó phương trình (*) trở thành

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = 3\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {a + b - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a + b = 3\,\,\left( {do\,\,{a^2} - ab + {b^2} > 0\,\,\forall a,\,\,b} \right)\end{array}\)

Mà \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)} \right\}\).

Vậy có 2 cặp số \(a,\,\,b\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.