Cho \(a\) là số thực dương khác 1 và \(b > 0\) thỏa mãn \({\log _a}b = \sqrt 3 \). Tính \(A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}}\) bằng

Câu 412924: Cho \(a\) là số thực dương khác 1 và \(b > 0\) thỏa mãn \({\log _a}b = \sqrt 3 \). Tính \(A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}}\) bằng

A. \(8 - 5\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{13 - 4\sqrt 3 }}{{11}}\)

C. \(5\sqrt 3 - 8\)

D. \(\dfrac{{4\sqrt 3 - 13}}{{11}}\)

Câu hỏi : 412924

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}{\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\\{\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\\{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\end{array}\)

Đáp án : A
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}} = {\log _{{a^2}b}}a - {\log _{{a^2}b}}{b^2}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - 2{\log _{{a^2}b}}b\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}\left( {{a^2}b} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}{a^2} + {{\log }_b}b}}\\ = \dfrac{1}{{2 + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{2{{\log }_b}a + 1}}\end{array}\)

Mà \({\log _a}b = \sqrt 3 \Rightarrow {\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Thay \({\log _a}b = \sqrt 3 ,{\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào A ta được:

\(\begin{array}{l}A = 8 - 5\sqrt 3 \end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.