Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều nằm trong mặt phẳng vuông
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng hình bình hành \(ADBE\), chứng minh \(d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {B;\left( {SAE} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HI\parallel AC\) (\(I\) thuộc phần ko dài của \(AE\)), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\), chứng minh \(d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot AD\) (do tam giác \(SAD\) đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \subset \left( {SAD} \right),\,\,SH \bot AD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) dựng hình bình hành \(ADBE\), ta có \(BD\parallel AE \Rightarrow BD\parallel \left( {SAE} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SAE} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAE} \right)} \right)\).
Lại có \(DH \cap \left( {SAE} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {D;\left( {SAE} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)}} = \dfrac{{DA}}{{HA}} = 2\).
\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAE} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\). Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HI\parallel AC\) (\(I\) thuộc phần ko dài của \(AE\)), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot IH\\AI \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AI \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AI\\HK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow HK \bot \left( {SAE} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK\end{array}\)
Vì \(AC \bot BD,\,\,BD\parallel AE \Rightarrow AC \bot AE\) \( \Rightarrow \angle CAI = {90^0}\), mà \(AC\) là phân giác của \(\angle BAD\) \( \Rightarrow \angle CAD = {45^0}\).
\( \Rightarrow \angle IAH = {45^0} \Rightarrow \Delta IAH\) vuông cân tại \(I\).
\( \Rightarrow IH = \dfrac{{AH}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\).
Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a \Rightarrow SD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHI\) ta có:
\(HK = \dfrac{{SH.IH}}{{\sqrt {S{H^2} + I{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {SA;BD} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
