Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ \).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ \). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tính bán kính ngoại tiếp đáy hình chóp chính là bán kính đáy hình nón.
- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao hình chóp chính là chiều cao hình nón. Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông.
- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh khối nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\) là \({S_{xq}} = \pi Rl\).
Gọi O là tâm tam giác đều ABC\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(CI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(OI = \dfrac{1}{3}CI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
\( \Rightarrow \) Bán kính khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Gọi I là trung điểm của AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot SI\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SI \subset \left( {SAB} \right);\,\,SI \bot AB\\CI \subset \left( {ABC} \right);\,\,CI \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SI;CI} \right) = \angle SIC = {60^0}\).
Xét tam giác vuông \(SOI\) có: \(SI = \dfrac{{OI}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAI\) có: \(SA = \sqrt {S{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
\( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của khối nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(l = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy diện tích xung quanh của hình nón cần tìm là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 7 }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
