Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) và \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){\cos ^2}x\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,\pi } \right).\) Biết rằng \(G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0,\) \(G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c\) bằng:
Câu 416827: Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) và \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){\cos ^2}x\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,\pi } \right).\) Biết rằng \(G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0,\) \(G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c\) bằng:
A. \(\dfrac{{11}}{{16}}\)
B. \( - \dfrac{5}{{16}}\)
C. \( - \dfrac{{21}}{{16}}\)
D. \( - \dfrac{{27}}{{16}}\)
Quảng cáo
- Biến đổi \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\cos }^2}xdx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} \).
- Sử dụng công thức tích phân Newton - Leibniz: Nếu \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Vì \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){\cos ^2}x\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\cos }^2}xdx} = G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Theo bài ra ta có:
\(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) \( \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} = F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} = - \dfrac{{3{\pi ^2}}}{{16}}\).
Mặt khác ta có: \(f\left( x \right){\sin ^2}x = F'\left( x \right) = 2x\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
Khi đó ta có: \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \left. { - 2x\cot x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\cot xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} = - \frac{\pi }{2} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + \left. {2\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} = - \dfrac{\pi }{2} + 2\ln \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + 2\ln {2^{ - \frac{1}{2}}} = - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2\end{array}\)
Thay vào (*) ta có: \( - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2 + \dfrac{{3{\pi ^2}}}{{16}} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{3}{{16}}\\c = - 1\end{array} \right.\) .
Vậy \(a + b + c = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{16}} - 1 = - \dfrac{{21}}{{16}}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com