Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) và \(G\left( x

Câu hỏi số 416827:

Vận dụng cao

Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) và \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){\cos ^2}x\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,\pi } \right).\) Biết rằng \(G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0,\) \(G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c\) bằng:

A. \(\dfrac{{11}}{{16}}\)

B. \( - \dfrac{5}{{16}}\)

C. \( - \dfrac{{21}}{{16}}\)

D. \( - \dfrac{{27}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416827

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\cos }^2}xdx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} \).

- Sử dụng công thức tích phân Newton - Leibniz: Nếu \(F\left( x \right)\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Giải chi tiết

Vì \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){\cos ^2}x\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\cos }^2}xdx} = G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right){\sin ^2}x\) \( \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right){{\sin }^2}xdx} = F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} = - \dfrac{{3{\pi ^2}}}{{16}}\).

Mặt khác ta có: \(f\left( x \right){\sin ^2}x = F'\left( x \right) = 2x\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \left. { - 2x\cot x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\cot xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} = - \frac{\pi }{2} + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + \left. {2\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} = - \dfrac{\pi }{2} + 2\ln \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{\pi }{2} + 2\ln {2^{ - \frac{1}{2}}} = - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2\end{array}\)

Thay vào (*) ta có: \( - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2 + \dfrac{{3{\pi ^2}}}{{16}} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\). Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{3}{{16}}\\c = - 1\end{array} \right.\) .

Vậy \(a + b + c = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{16}} - 1 = - \dfrac{{21}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.