Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({2^{x + 1}}{\log _4}x - m{.2^x} -

Câu hỏi số 418433:

Vận dụng cao

Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({2^{x + 1}}{\log _4}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {4; + \infty } \right)\) là:

A. \(3\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. vô số.

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Đưa bất phương trình đã cho về dạng tích.

- Nhận xét dấu các thừa số trong tích, đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \subset \left[ {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {min}\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Phương trình đã cho xác định trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{2^{x + 1}}{\log _4}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^x}.\dfrac{1}{2}{\log _2}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {2^x}.{\log _2}x - m{.2^x} - {\log _2}x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {{2^x} - 1} \right) - m\left( {{2^x} - 1} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{{\log }_2}x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow {2^x} \ge {2^4}\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right) \Rightarrow {2^x} - 1 \ge 15 > 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _2}x - m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le {\log _2}x\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} {\log _2}x\end{array}\)

Lại có hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\left[ {4; + \infty } \right)\) nên \({\log _2}x \ge {\log _2}4 = 2\,\,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} {\log _2}x = 2\).

Suy ra \(m \le 2\). Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:418433

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.