Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z + \dfrac{{2{{\left( {2 - i} \right)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i}

Câu hỏi số 418760:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z + \dfrac{{2{{\left( {2 - i} \right)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} \right)^5} = 422 + 1088i.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. \(\left| z \right| = \sqrt 5 \)

B. \({z^2} = 5\)

C. Phần ảo của \(z\) bằng \(0\)

D. Không tồn tại số phức \(z\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418760

Phương pháp giải

Modun của số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi.\)

Ta có: \({i^n} = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,\,\,khi\,\,\,n = 4k\\i\,\,\,khi\,\,\,n = 4k + 1\\ - 1\,\,\,khi\,\,\,n = 4k + 2\\ - i\,\,\,\,khi\,\,\,n = 4k + 3\,\,\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi\,\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{{2{{\left( {2 - i} \right)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} \right)^5} = 422 + 1088i\\ \Leftrightarrow z + \dfrac{{2{{\left( {2 - i} \right)}^3}\left( {1 + i} \right)\overline z }}{{1 - {i^2}}} + {\left( {4 + i} \right)^5} = 422 + 1088i\\ \Leftrightarrow z + {\left( {2 - i} \right)^3}\left( {1 - i} \right)\overline z + {\left( {4 + i} \right)^5} = 422 + 1088i\\ \Leftrightarrow z + \left( {2 - 11i} \right)\left( {1 - i} \right)\overline z + 404 + 1121i = 422 + 1088i\\ \Leftrightarrow z - \left( {9 + 13i} \right)\overline z = 18 - 33i\\ \Leftrightarrow a + bi - \left( {9 + 13i} \right)\left( {a - bi} \right) = 18 - 33i\\ \Leftrightarrow a + bi - 9a - 13b - \left( {13a - 9b} \right)i = 18 - 33i\\ \Leftrightarrow - 8a - 13b - \left( {13a - 10b} \right)i = 18 - 33i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8a - 13b = 18\\13a - 10b = 33\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = 1 - 2i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 .\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.