Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và đồ

Câu hỏi số 418787:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết \(f\left( 1 \right) = 6\) và \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2}\).

Xét các mệnh đề sau:

(I). Trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{g\left( x \right)}}\) có đúng ba đường tiệm cận đứng.

(II). \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right)\).

(III). \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\).

(IV). Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\).

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418787

Giải chi tiết

Xét phương trình \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2} = 0\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2}\) và đường thẳng \(y = 0\).

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + 1\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = x + 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

BBT:

Ta có \(h\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 2 = 4\).

Trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại đối đa 2 điểm, do đó phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), suy ra đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{g\left( x \right)}}\) có tối đa 2 TCĐ trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) nên mệnh đề (I) sai.

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\), do đó mệnh đề (II) sai, hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {2;3} \right]\) nên mệnh đề (IV) sai.

Ta có \(g\left( { - 3} \right) = f\left( { - 3} \right) - 2,\,\,g\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) - 8\).

\( \Rightarrow g\left( { - 3} \right) - g\left( 3 \right) = f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) + 6\).

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 3}^3 {\left( {f'\left( x \right) - 1} \right)dx} > 0 \Leftrightarrow f\left( 3 \right) - f\left( { - 3} \right) - \int\limits_{ - 3}^3 {dx} > 0\\ \Leftrightarrow f\left( 3 \right) - f\left( { - 3} \right) - 6 > 0 \Rightarrow f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) + 6 < 0\\ \Rightarrow f\left( { - 3} \right) < f\left( 3 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\), suy ra mệnh đề (III) đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.