Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị \(m\)

Câu hỏi số 418788:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên bé hơn 2020 để bất phương trình \({\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right]^3} - 4f\left( x \right) + 2m + 1 \ge 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) với \({f^3}\left( x \right)\) được hiểu là \({\left( {f\left( x \right)} \right)^3}\)?

A. \(2019\)

B. \(2074\)

C. \(2020\)

D. \(2073\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:418788

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\), chứng minh hàm số này đơn điệu trên \(\mathbb{R}\).

- Đặt \(u = f\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(u\) ứng với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\). Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge h\left( u \right)\,\,\forall u \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} h\left( u \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right]^3} - 4f\left( x \right) + 2m + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right]^3} + \left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right] \ge {f^3}\left( x \right) + f\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(g\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(g\left[ {{f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1} \right] \ge g\left[ {f\left( x \right)} \right]\) nên \({f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2m + 1 \ge f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow 2m \ge - {f^3}\left( x \right) + 4f\left( x \right) - 1\).

Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\), dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) và \(f\left( x \right) \in \left[ { - 1;5} \right]\).

Đặt \(u = f\left( x \right)\), yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để bất phương trình \(2m \ge - {u^3} + 4u - 1\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm \(u \in \left[ { - 1;5} \right]\)

Xét hàm số \(h\left( u \right) = - {u^3} + 4u - 1\) trên \(\left[ { - 1;5} \right]\) ta có \(h'\left( u \right) = - 3{u^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \in \left[ { - 1;5} \right]\\u = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \notin \left[ { - 1;5} \right]\end{array} \right.\).

Ta có \(h\left( { - 1} \right) = - 4,\,\,h\left( 5 \right) = - 106,\,\,h\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{ - 9 + 16\sqrt 3 }}{9}\).

Để bất phương trình (*) có nghiệm \(u \in \left[ { - 1;5} \right]\) thì \(2m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} h\left( u \right) = - 106\) \( \Leftrightarrow m \ge - 53\).

Kết hợp điều kiện bài toán \( \Rightarrow - 53 \le m < 2020,\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(\left( {2019 + 53} \right) + 1 = 2073\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.