Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln x + {2^x} - {2^{\frac{1}{x}}}\). Tính tổng bình phương các giá trị
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln x + {2^x} - {2^{\frac{1}{x}}}\). Tính tổng bình phương các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( {\dfrac{1}{{4\left| {x - m} \right| + 3}}} \right) + f\left( {{x^2} - 4x + 7} \right) = 0\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \ln \left( {\frac{1}{x}} \right) + {2^{\frac{1}{x}}} - {2^x} = - \left( {\ln x + {2^x} - {2^{\frac{1}{x}}}} \right) = - f\left( x \right)\), do đó \(f\left( {\dfrac{1}{{4\left| {x - m} \right| + 3}}} \right) = - f\left( {4\left| {x - m} \right| + 3} \right)\), khi đó phương trình trở thành: \(f\left( {4\left| {x - m} \right| + 3} \right) = f\left( {{x^2} - 4x + 7} \right)\,\,\,\left( * \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + {2^x}\ln 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}{.2^{\frac{1}{x}}}.\ln 2 > 0\,\,\forall x > 0\), do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 4\left| {x - m} \right| + 3 = {x^2} - 4x + 7\) \( \Leftrightarrow 4\left| {x - m} \right| = {x^2} - 4x + 4\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 = 4x - 4m\\{x^2} - 4x + 4 = - 4x + 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m = - {x^2} + 8x - 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4m = {x^2} + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) \(\left( {x > 0} \right)\).
Vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 8x - 4\) và \(y = {x^2} + 4\) với \(x > 0\) ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m = 4\\4m = 8\\4m = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.\).
Vậy tổng bình phương các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({1^2} + {2^2} + {3^2} = 14\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
