Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\left( {m + 2} \right)x - \left( {m + 1} \right)y + {m^2}z - 1 = 0\), với \(m\) là tham số thực, đường thẳng \(\Delta \) luôn cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm cố định, gọi \(d\) là khoảng cách từ điểm \(I\left( {2;1;3} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \). Giá trị lớn nhất của \(d\) bằng:

Câu 419217: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\left( {m + 2} \right)x - \left( {m + 1} \right)y + {m^2}z - 1 = 0\), với \(m\) là tham số thực, đường thẳng \(\Delta \) luôn cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm cố định, gọi \(d\) là khoảng cách từ điểm \(I\left( {2;1;3} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \). Giá trị lớn nhất của \(d\) bằng:

A. \(\sqrt {11} \)

B. \(\sqrt {10} \)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 419217

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) về dạng phương trình bậc hai ẩn \(m\): \(A{m^2} + Bm + C = 0\), tìm điều kiện để phương trình đúng với mọi \(m\) \(\left( {A = B = C = 0} \right)\), từ đó suy ra điểm \(M\) cố định thuộc \(\left( P \right)\) và \(M \in \Delta \).

- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, chứng minh \({d_{\max }} = IM\).

- Tính độ dài đoạn thẳng \(IM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_M} - {z_I}} \right)}^2}} \).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\left( {m + 2} \right)x - \left( {m + 1} \right)y + {m^2}z - 1 = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,mx + 2x - my - y + {m^2}z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow z{m^2} + \left( {x - y} \right)m + 2x - y - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (*) đúng với mọi \(m\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}z = 0\\x - y = 0\\2x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {1;1;0} \right)\) với mọi giá trị của \(m\). Do đó \(M\left( {1;1;0} \right) \in \Delta \).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\Delta \), khi đó ta có \(d\left( {I;\Delta } \right) = IH \le IM\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

\( \Rightarrow {d_{\max }} = IM \Leftrightarrow H \equiv M\), khi đó \({d_{\max }} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.