Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:

Câu 419216: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:

A. \(\dfrac{{43}}{{324}}\)

B. \(\dfrac{1}{{27}}\)

C. \(\dfrac{{11}}{{324}}\)

D. \(\dfrac{{17}}{{81}}\)

Câu hỏi : 419216

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Tìm số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”. Phân tích \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\), chứng minh \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

- Xác định các cặp số \(\left( {{a_7};{a_8}} \right)\) thỏa mãn \(10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\), từ đó tính số phần tử của biến cố M.

- Tính xác suất của biến cố M: \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.

Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.

\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.

Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).

Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.

Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).

Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).

Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} \ne {a_8}\) nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).

\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).

Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

TH2: \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.

TH3: \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).

Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).

Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.

\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).

Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.