Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán
Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 4193:
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: xy+yz+zx=3 Chứng minh: \frac{1}{1+x^{2}(y+z)}+\frac{1}{1+y^{2}(x+z)}+\frac{1}{1+z^{2}(x+y)}≤ \frac{1}{xyz} Dấu "=" xảy ra khi:

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:4193
Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 3=xy+yz+zx ≥ 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}

=> 1≥ \sqrt[3]{(xyz)^{2}} => xyz ≤1 => 1+x2(y+z) ≥ xyz +x2(y+z)=x(yz+zx+xy)=3x

Vậy  1+x2(y+z) ≥3x => \frac{1}{1+x^{2}(y+z)} ≤\frac{1}{3z}

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\frac{1}{1+x^{2}(y+z)}+\frac{1}{1+y^{2}(x+z)}+\frac{1}{1+z^{2}(x+y)} ≤\frac{1}{3} (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})

=\frac{1}{3}(\frac{yz+zx+xy}{xyz})= \frac{1}{xyz}

Vậy \frac{1}{1+x^{2}(y+z)}+\frac{1}{1+y^{2}(x+z)}+\frac{1}{1+z^{2}(x+y)}≤\frac{1}{xyz}

Dấu "=" xảy ra khi: \left\{\begin{matrix} xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3 \end{matrix}\right. <=> x=y=z=1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn