Cho phương trình \({3^x} - m = {\log _3}\left( {x + m} \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá
Cho phương trình \({3^x} - m = {\log _3}\left( {x + m} \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \(\left( { - 2020;2020} \right)\) để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Đặt \({\log _3}\left( {x + m} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - m = t\\x + m = {3^t}\end{array} \right.\), khử \(m\).
- Xét hàm số đặc trưng \(f\left( u \right) = {u^3} + u\), chứng minh hàm số đơn điệu, từ đó biểu diễn \(t\) theo \(x\).
- Thay ngược lại \(t\) theo \(x\) vừa tìm được vào phương trình \({\log _3}\left( {x + m} \right) = t\), cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = g\left( x \right)\).
- Lập BBT hàm số \(g\left( x \right)\), tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ta có \({3^x} - m = {\log _3}\left( {x + m} \right)\)
Đặt \({\log _3}\left( {x + m} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - m = t\\x + m = {3^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {3^x} + x = {3^t} + t\).
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {3^u} + u\) ta có \(f'\left( u \right) = {3^u}\ln3 + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Lại có \(f\left( x \right) = f\left( t \right) \Rightarrow x = t\) \( \Rightarrow x = {\log _3}\left( {x + m} \right)\) \( \Leftrightarrow x + m = {3^x} \Leftrightarrow m = {3^x} - x\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {3^x} - x\) ta có: \(g'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {\dfrac{1}{{\ln 3}}} \right) = {x_0}\).
Bảng biến thiên:
Với \(g\left( {{x_0}} \right) \approx 0,996\).
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m > g\left( {{x_0}} \right)\).
Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 2020;2020} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} \right\}\)
Vậy có tất cả 2019 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
