Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\), \(m\)là tham số. Khi đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\)(\(O\)là gốc tọa độ) thì \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 419784: Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\), \(m\)là tham số. Khi đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\)(\(O\)là gốc tọa độ) thì \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - 3; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\)

C. \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)\)

D. \(\left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\)

Câu hỏi : 419784

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-et tìm tổng và tích hai nghiệm theo \(m\).

- Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\), giải phương trình suy ra m.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = x + m\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} - x + mx - m\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\1 + m - 3 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 4 + 4m > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 5 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}.{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\)

Giả sử \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {{x_1};{x_1} + m} \right);\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + m\left( {3 - m} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + 3m - {m^2} + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\end{array}\)

Vậy \(m = - 2 \in \left( { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.