Cho hệ phương trình với \(k\) là tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt

Câu hỏi số 420444:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình với \(k\) là tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = k\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \sqrt {\dfrac{y}{z}} + \sqrt {\dfrac{y}{x}} = k\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt {\dfrac{z}{x}} + \sqrt {\dfrac{z}{y}} = k\end{array} \right..\)

a) Giải hệ phương trình với \(k = 1.\)

b) Chứng minh hệ vô nghiệm với \(k \ge 2\) và \(k \ne 3.\)

A. \(a)\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\)

B. \(a)\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\) với \(t \ne 0.\)

C. \(a)\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\) với \(t < 0.\)

D. \(a)\,\,\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\) với \(t > 0.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420444

Giải chi tiết

a) Giải hệ phương trình với \(k = 1.\)

Với \(k = 1\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = 1\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \sqrt {\dfrac{y}{z}} + \sqrt {\dfrac{y}{x}} = 1\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt {\dfrac{z}{x}} + \sqrt {\dfrac{z}{y}} = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\)

ĐKXĐ: \(x,\,\,y,\,\,z\) cùng dấu, \(xyz \ne 0.\)

TH1: \(x,\,\,y,\,\,z > 0.\)

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt z }} = 1\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt z }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt z }} = 1\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \dfrac{{\sqrt z }}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt z }}{{\sqrt y }} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {yz} }} = 1\\\dfrac{{\sqrt y \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {zx} }} = 1\\\dfrac{{\sqrt z \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)}}{{\sqrt {xy} }} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right) = \sqrt {yz} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt y \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right) = \sqrt {zx} & \left( 2 \right)\\\sqrt z \left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right) = \sqrt {xy} & \left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chia hai vế của \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt y }} = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = y\)

Tương tự ta được: \(x = y = z.\) Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\sqrt x .3\sqrt x = x \Leftrightarrow 3x = x\) \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

TH2: \(x,\,\,y,\,\,z < 0.\)

Đặt \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( { - a;\, - b; - c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0.\)

Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - a}}{{\sqrt {bc} }} + \sqrt {\dfrac{a}{b}} + \sqrt {\dfrac{a}{c}} = 1\\ \Leftrightarrow - a + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} = \sqrt {bc} \end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - b + \sqrt {bc} + \sqrt {ab} = \sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac} + \sqrt {cb} = \sqrt {ab} \end{array} \right.\)

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} = \sqrt {bc} & \left( 4 \right)\\ - b + \sqrt {bc} + \sqrt {ab} = \sqrt {ca} & \left( 5 \right)\\ - c + \sqrt {ac} + \sqrt {cb} = \sqrt {ab} & \left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế 3 phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l} - a - b - c + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ab} = \sqrt {bc} + \sqrt {ca} + \sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a + b + c = \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \end{array}\)

Mà \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow x = y = z\)

Ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = 1\) \( \Leftrightarrow - 1 + 1 + 1 = 1\) (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm: \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {t;\,\,t;\,\,t} \right)\) với \(t < 0.\)

b) Chứng minh hệ vô nghiệm với \(k \ge 2\) và \(k \ne 3.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = k\\\dfrac{y}{{\sqrt {zx} }} + \sqrt {\dfrac{y}{z}} + \sqrt {\dfrac{y}{x}} = k\\\dfrac{z}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt {\dfrac{z}{x}} + \sqrt {\dfrac{z}{y}} = k\end{array} \right..\)

ĐKXĐ: \(\) cùng dấu, \(xyz \ne 0.\)

Áp dụng câu a) ta có:

TH1: \(x,\,\,y,\,\,z > 0 \Rightarrow x = y = z\)

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\sqrt x .3\sqrt x = kx \Leftrightarrow 3 = k\)

Mà \(k \ne 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

TH2: \(x,\,\,y,\,\,z < 0.\)

Đặt \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( { - a;\, - b; - c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0.\)

Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt {\dfrac{x}{y}} + \sqrt {\dfrac{x}{z}} = k\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - a}}{{\sqrt {bc} }} + \sqrt {\dfrac{a}{b}} + \sqrt {\dfrac{a}{c}} = k\\ \Leftrightarrow - a + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} = k\sqrt {bc} \end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - b + \sqrt {bc} + \sqrt {ab} = k\sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac} + \sqrt {cb} = k\sqrt {ab} \end{array} \right.\)

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - a + \sqrt {ac} + \sqrt {ab} = k\sqrt {bc} \\ - b + \sqrt {bc} + \sqrt {ab} = k\sqrt {ca} \\ - c + \sqrt {ac} + \sqrt {cb} = \sqrt {ab} \end{array} \right.\)

Cộng vế với vế 3 phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l} - a - b - c + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ab} = k\left( {\sqrt {bc} + \sqrt {ca} + \sqrt {ab} } \right)\\ \Leftrightarrow - \left( {a + b + c} \right) + \left( {2 - k} \right)\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) = 0\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Với \(k \ge 2 \Rightarrow 2 - k \le 0\)

\( \Rightarrow - \left( {a + b + c} \right) + \left( {2 - k} \right)\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) < 0\)

\( \Rightarrow \left( {**} \right)\) vô nghiệm.

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy với \(k \ge 2,\,\,k \ne 3\) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link