Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\),
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), \(E\) là điểm thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(E\) không trùng với \(A\) và \(B\). Dựng đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(E\) và vuông góc với \(EI\). Đường thẳng \(d\) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh các tam giác nội tiếp qua trường hợp góc – góc.
Từ đó suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng rồi suy ra đẳng thức cần chứng minh.
c) Chứng minh tứ giác \(BNEI\) nội tiếp và từ tứ giác \(AMEI\) nội tiếp, suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Từ đó suy ra \(\Delta MNI\) là tam giác vuông.
Sử dụng các tỉ số lượng giác để tìm vị trí của điểm \(E\) để diện tích \(\Delta MNI\) nội tiếp.
a) Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
Vì \({d_1}\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nên \(\angle IAM = {90^0}\).
Vì \(d \bot EI\) tại \(E\) nên \(\angle IEM = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AMEI\) có \(\angle IAM + \angle IEM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh \(\Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\). Từ đó chứng minh \(IB.NE = 3IE.NB\).
Vì \(\angle AEB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle AEB = {90^0}\).
Ta có: \(\angle AEI + \angle IEB = \angle AEB = {90^0}\).
\(\angle BEN + \angle IEB = \angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\))
\( \Rightarrow \angle AEI = \angle BEN\) (cùng phụ với \(\angle IEB\))
Xét \(\Delta IAE\) và \(\Delta NBE\) có:
\(\angle AEI = \angle BEN\,\,\,\left( {cmt} \right);\)
\(\angle IAE = \angle NBE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))
\( \Rightarrow \Delta IAE\) đồng dạng với \(\Delta NBE\) (g.g).
\( \Rightarrow \dfrac{{IE}}{{NE}} = \dfrac{{IA}}{{NB}}\) (2 cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow IA.NE = IE.NB\) (1).
Mà \(I\) là trung điểm của \(OA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OA = 2IA\).
Lại có \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AB = 2OA = 4IA\).
\( \Rightarrow IB = AB - IA = 4IA - IA = 3IA\).
Khi đó ta có:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3IA.NE = 3IE.NB\) (nhân cả 2 vế với 3) \( \Rightarrow IB.NE = 3IE.NB\) (đpcm).
c) Khi điểm \(E\) thay đổi, chứng minh tam giác \(MNI\) vuông tại \(I\) và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) theo \(R\).
Xét tứ giác \(BNEI\) có:
\(\angle IEN = {90^0}\) (do \(d \bot IE\) tại \(E\))
\(\angle IBN = {90^0}\) (do \({d_2}\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\))
\( \Rightarrow \angle IEN + \angle IBN = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BNEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle INE = \angle IEB = \angle ABE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Lại có: Tứ giác \(AMEI\) là tứ giác nội tiếp (chứng minh ý a)
\( \Rightarrow \angle IME = \angle IAE = \angle BAE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\))
Xét tam giác \(MNI\) có:
\(\angle INE + \angle IME = \angle ABE + \angle BAE = {90^0}\) (do \(\angle AEB = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên tam giác \(AEB\) vuông tại \(E\)).
\( \Rightarrow \Delta MNI\) vuông tại \(I\) (tam giác có tổng hai góc nhọn bằng \({90^0}\)).
Ta có: \({S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\).
Đặt \(\angle AIM = \alpha \,\,\left( {0 < \alpha < {{90}^0}} \right)\) \( \Rightarrow \angle BIN = {90^0} - \alpha \).
Xét tam giác vuông \(AIM\) ta có: \(\cos \alpha = \dfrac{{AI}}{{IM}} \Rightarrow IM = \dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}\).
Xét tam giác vuông \(BIN\) ta có: \(\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \dfrac{{BI}}{{IN}} \Rightarrow IN = \dfrac{{BI}}{{\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)}} = \dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{1}{2}IM.IN\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AI}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{{BI}}{{\sin \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{AI.BI}}{{2\sin \alpha .cos\alpha }}\end{array}\)
Ta có: \(AB = 4AI\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AI = \dfrac{1}{4}AB = \dfrac{R}{2},\,\,BI = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{{3R}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} = \dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{4}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}\) \(=\dfrac{{\dfrac{{3{R^2}}}{8}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\).
Do \(\dfrac{{3{R^2}}}{8}\) không đổi nên diện tích tam giác \(MNI\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\sin \alpha .\cos \alpha \) đạt giá trị lớn nhất.
Vì \({0^0} < \alpha < {90^0}\) nên \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha > 0\). Áp dụng BĐT Co-si ta có:
\(\sin \alpha .\cos \alpha \le \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\forall \alpha \).
\( \Rightarrow {S_{\Delta MNI}} \le \dfrac{{3{R^2}}}{8}:\dfrac{1}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \alpha \\{\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \end{array} \right. \Rightarrow \sin \alpha = \cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow \alpha = {45^0}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(MNI\) là \(\dfrac{{3{R^2}}}{4}\), đạt được khi \(\angle AIM = {45^0}\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
