Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số). a)

Câu hỏi số 420573:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).

A. \(a)\,\,S = \left \{ - 1; - 4 \right \}\\c)\,\,m = - 2\,;\,\,m = - 1\)

B. \(a)\,\,S = \left \{1;4 \right \}\\c)\,\,m = - 2\)

C. \(a)\,\,S = \left \{ 1; - 4 \right \}\\c)\,\,m = - 2\,;\,\,m = - 1\)

D. \(a)\,\,S = \left \{ - 1;4 \right \}\\c)\,\,m = - 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420573

Phương pháp giải

a) Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) rồi giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích.

b) Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac.\) Chứng minh \(\Delta \ge 0\) với mọi \(m\) \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

c) Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để giải phương trình tìm \(m.\)

Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 4\).

Thay \(m = 4\) vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 3x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khi \(m = 4\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\).

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

\({x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right)\\\Delta = {m^2} - 2m + 1 + 4m\\\Delta = {m^2} + 2m + 1\\\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

c) Xác định giá trị của \(m\) để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\).

Theo ý b) ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2}\).

Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta > 0\).

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}\left( {3 + {x_1}} \right) + {x_2}\left( {3 + {x_2}} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + x_1^2 + 3{x_2} + x_2^2 = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = - 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right) + {\left( {m - 1} \right)^2} - 2.\left( { - m} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 3m - 3 + {m^2} - 2m + 1 + 2m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m + 2m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link