Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M,\) đường cao \(MI\) và \(NK\) cắt nhau tại \(O.\) Đường tròn

Câu hỏi số 420961:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M,\) đường cao \(MI\) và \(NK\) cắt nhau tại \(O.\) Đường tròn \(\left( {O;\,OK} \right)\) cắt \(MI\) tại \(G\) và \(E\) (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(MN = MP = \sqrt 3 \) và \(MG = EI.\) Tính \(OK.\)

A. \(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)

B. \(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}.\)

C. \(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

D. \(OK = \sqrt 6 .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:420961

Phương pháp giải

- Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)). Tính \(MI\) theo \(x\).

- Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MI\), tính \(OM,\,\,OI\) theo \(x\). Từ đó tính \(ON\) theo \(x\).

- Chứng minh \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) đồng dạng, từ đó tính \(NK\) theo \(x\).

- Chứng minh \(MI.NP = NK.MP\), giải phương trình tìm \(x\).

- Tính \(OK = NK - ON\).

Giải chi tiết

Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)).

Vì \(\Delta MNP\) cân tại \(M\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(I\) là trung điểm của \(NP\) (đường cao đồng thời là đường trung tuyến).

\( \Rightarrow NI = IP = x\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MIP\) ta có: \(M{I^2} = M{P^2} - I{P^2} = 3 - {x^2}\) \( \Rightarrow MI = \sqrt {3 - {x^2}} \).

Ta có: \(MG = EI\,\,\left( {gt} \right),\,\,OG = OE\) (= bán kính của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow OM = OI\).

\( \Rightarrow OM = OI = \dfrac{1}{2}MI = \dfrac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OIN\) có:

\(\begin{array}{l}O{N^2} = N{I^2} + O{I^2}\\O{N^2} = {x^2} + \dfrac{{3 - {x^2}}}{4} = \dfrac{{3{x^2} + 3}}{4}\\ \Rightarrow ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt {{x^2} + 1} \end{array}\)

Xét \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) có \(\angle KNP\) chung; \(\angle OIN = \angle PKN = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ONI \sim \Delta PNK\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ON}}{{PN}} = \dfrac{{NI}}{{NK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2.2x}} = \dfrac{x}{{NK}}\\ \Rightarrow NK = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)

Ta có: \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MI.NP = \dfrac{1}{2}NK.MP\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MI.NP = NK.MP\\ \Rightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .2x = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}.\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\\ \Leftrightarrow \left( {3 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 3 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 3\,\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)

Với \(x = 1\) ta có \(NK = \dfrac{4}{{\sqrt 3 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\), \(ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy \(OK = NK - ON = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link