Hai xe xuất phát đồng thời từ A đi đến B theo một đường thẳng. Xe thứ nhất đi nửa quãng

Câu hỏi số 421215:

Vận dụng cao

Hai xe xuất phát đồng thời từ A đi đến B theo một đường thẳng. Xe thứ nhất đi nửa quãng đường đầu với vận tốc không đổi v₁ và đi nửa quãng đường sau với vận tốc không đổi v. Xe thứ hai đi nửa thời gian đầu với vận tốc không đổi vị và đi nửa thời gian sau với vận tốc không đổi v₂. Gọi khoảng cách giữa A và B là L.

a. Tìm vận tốc trung bình của mỗi xe trên đoạn AB theo v₁ và v₂.

b. Xe nào đi đến B trước và đến trước xe còn lại một khoảng thời gian là bao nhiêu tính theo L, v₁ và v₂.

c. Tìm khoảng cách giữa hai xe tại thời điểm khi xe trước vừa đến B theo L, v₁ và v₂.

d. Biết xe trước đến B sớm hơn xe sau 1,5h và khoảng cách giữa hai xe tại thời điểm xe trước vừa đến B là 90km. Biết L = 200km và vận tốc tối đa của các xe không vượt quá 120km/h. Tính v₁ và v₂.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421215

Giải chi tiết

Gọi quãng đường là L

Thời gian xe thứ nhất đi nửa quãng đường đầu và nửa quãng đường sau là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{{S_1}}}{{{v_1}}} = \dfrac{L}{{2{v_1}}}\\{t_2} = \dfrac{{{S_2}}}{{{v_2}}} = \dfrac{L}{{2{v_2}}}\end{array} \right.\)

Vận tốc trung bình của xe thứ nhất là:

\({v_{tb1}} = \dfrac{S}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{L}{{\dfrac{L}{{2{v_1}}} + \dfrac{L}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{{2{v_1}{v_2}}}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\)

Gọi thời gian xe thứ hai đi trên cả quãng đường là t

Quãng đường xe thứ hai đi trên từng khoảng thời gian là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_1}' = {v_1}{t_1}' = {v_1}.\dfrac{t}{2}\\{S_2}' = {v_2}{t_2}' = {v_2}.\dfrac{t}{2}\end{array} \right.\)

Vận tốc trung bình của xe thứ hai là:

\({v_{tb2}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{t} = \dfrac{{\dfrac{{{v_1}t}}{2} + \dfrac{{{v_2}t}}{2}}}{t} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\)

b) Xét: \({v_{tb2}} - {v_{tb1}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} - \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}^2} - 4{v_1}{v_2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\)

Ta có: \({\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {v_{tb2}} - {v_{tb1}} \ge 0\) (dấu = xảy ra khi \({v_1} = {v_2}\))

Nếu \({v_1} = {v_2}\) hai xe đến B cùng lúc

Nếu \({v_1} \ne {v_2}\) xe 2 đến B trước xe 1

Vậy xe thứ 2 đến B trước xe thứ nhất

Thời gian xe 2 đến trước xe 1 là

\(\Delta t = \dfrac{L}{{{v_{tb1}}}} - \dfrac{L}{{{v_{tb2}}}} = L(\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{{2{v_1}{v_2}}} - \dfrac{2}{{{v_1} + {v_2}}}) = \dfrac{{L{{({v_1} - {v_2})}^2}}}{{2{v_1}{v_2}({v_1} + {v_2})}}\)

Khi xe thứ hai đến B, thời gian hai xe chuyển động là:

\(t = {t_2} = \dfrac{S}{{{v_{tb2}}}} = \dfrac{L}{{\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}}} = \dfrac{{2L}}{{{v_1} + {v_2}}}\)

Thời gian xe 1 đi được nửa quãng đường đầu là \({t_{11}} = \dfrac{L}{{2{v_1}}}\)

Xét : \(\dfrac{L}{{2{v_1}}} - \dfrac{{2L}}{{{v_1} + {v_2}}} = L.\left( {\dfrac{1}{{2{v_1}}} - \dfrac{2}{{{v_1} + {v_2}}}} \right) = L.\dfrac{{{v_2} - 3{v_1}}}{{2{v_1}.\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\)

Trường hợp 1: \({v_2} - 3{v_1} > 0 \Rightarrow {t_{11}} > {t_2}\)

Vậy khi xe thứ hai đến B, xe thứ nhất chưa đi được nửa quãng đường đầu

Khi đó, xe thứ nhất chuyển động với vận tốc v₁ trong thời gian \({t_2}\) thì xe 2 đã đến B rồi

Quãng đường xe thứ nhất còn cách B quãng đường là:

\(S = L - {v_1}.t = L - {v_1}.\dfrac{{2L}}{{{v_1} + {v_2}}} = L.\left( {1 - \dfrac{{2{v_1}}}{{{v_1} + {v_2}}}} \right) = L.\dfrac{{{v_2} - {v_1}}}{{{v_1} + {v_2}}} > \dfrac{L}{2}\)

Trường hợp 2: \({v_2} - 3{v_1} < 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{L}{{2{v_1}}} < \dfrac{{2L}}{{{v_1} + {v_2}}} \to \) khi xe thứ 2 đến B, xe thứ nhất đi đã đi được nửa quãng đường đầu và đi thêm một đoạn với vận tốc v₂

Lúc này xe 1 phải đi thêm một khoảng thời gian là \(\Delta t = \dfrac{{L{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\) với vận tốc v₂ để đến B

Xe thứ nhất còn cách B quãng đường là:

\(S = \Delta t.{v_2} = \dfrac{{L{{({v_1} - {v_2})}^2}}}{{2{v_1}{v_2}({v_1} + {v_2})}}.{v_2} = \dfrac{{L{{({v_1} - {v_2})}^2}}}{{2{v_1}({v_1} + {v_2})}}\)

Ta có: \(S < \dfrac{L}{2} \Rightarrow {v_2} < 3{v_1}\)

Ta có \(S = \Delta t.{v_2} \Rightarrow {v_2} = \dfrac{S}{{\Delta t}} = \dfrac{{90}}{{1,5}} = 60(km/h)\)

Thay vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}1,5 = \dfrac{{200.{{\left( {{v_1} - 60} \right)}^2}}}{{2.60.{v_1}.\left( {{v_1} + 60} \right)}} \Rightarrow 200{\left( {{v_1} - 60} \right)^2} = 180{v_1}.\left( {{v_1} + 60} \right)\\ \Rightarrow 10{\left( {{v_1} - 60} \right)^2} = 9{v_1}\left( {{v_1} + 60} \right)\\ \Rightarrow 10{v_1}^2 - 1200{v_1} + 36000 = 9{v_1}^2 + 540{v_1}\\ \Rightarrow {v_1}^2 - 1740{v_1} + 36000 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{v_1} = 20,94\,\,\left( {km/h} \right)\,\,\left( {t/m} \right)\\{v_1} = 1719\,\,\left( {km/h} \right)\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link