Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} -

Câu hỏi số 421510:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = 2A.B + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(a)\,\,A = \dfrac{3}{4}\\c)\,\,x = 0\)

B. \(a)\,\,A = 1\\c)\,\,x = 1\)

C. \(a)\,\,A = \dfrac{3}{4}\\c)\,\,x = 2\)

D. \(a)\,\,A = 1\\c)\,\,x = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421510

Giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

Thay \(x = 4\,\,\left( {TMDK} \right)\) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 + 2}} = \dfrac{{2 + 1}}{{2 + 2}} = \dfrac{3}{4}\).

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = \dfrac{3}{4}\).

2) Chứng minh \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{x - 1}}\\B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = 2A.B + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2A.B + \sqrt x \\P = 2.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} + \sqrt x \\P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} + \sqrt x \\P = \sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} - 2\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x + 2\) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}\) ta có:

\(\sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 2} \right).\dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}} = 2\sqrt 4 = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} - 2 \ge 2\\ \Rightarrow A \ge 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 2} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 2\,\,\left( {Do\,\,\sqrt x + 2 \ge 2\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi và chỉ khi \(x = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link