Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { -

Câu hỏi số 422178:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{4}{3}.\)

B. \(\dfrac{3}{4}.\)

C. \(\dfrac{2}{3}.\)

D. \(\dfrac{3}{2}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422178

Phương pháp giải

- Lấy tích phân từ -1 đến 1 hai vế của đẳng thức \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = - x\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {2{x^2}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \left. {\dfrac{{2{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \).

Do đó \(2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \int\limits_1^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.