Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Câu 422178: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A. \(\dfrac{4}{3}.\)
B. \(\dfrac{3}{4}.\)
C. \(\dfrac{2}{3}.\)
D. \(\dfrac{3}{2}.\)
Quảng cáo
- Lấy tích phân từ -1 đến 1 hai vế của đẳng thức \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = - x\).
-
Đáp án : C(14) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2{x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {2{x^2}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \left. {\dfrac{{2{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^1\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)
Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( { - x} \right)dx} = - \int\limits_1^{ - 1} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} \).
Do đó \(2\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \int\limits_1^1 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{2}{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com