Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực lớn hơn 1 và \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực lớn hơn 1 và \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^{2x}} = {b^{3y}} = {c^{5z}} = \sqrt[{10}]{{abc}}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{15}}{x} + \dfrac{{10}}{y} - \dfrac{{{z^2}}}{9}\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ta có \({a^{2x}} = {b^{3y}} = {c^{5z}} = \sqrt[{10}]{{abc}} = t > 1\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}{\log _a}t\\y = \dfrac{1}{3}{\log _b}t\\z = \dfrac{1}{5}{\log _c}t\end{array} \right.\) và \(abc = {t^{10}}\)
Mà
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{15}}{x} + \dfrac{{10}}{y} - \dfrac{{{z^2}}}{9}\\P = \dfrac{{30}}{{{{\log }_a}t}} + \dfrac{{30}}{{{{\log }_b}t}} - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\\P = 30\left( {{{\log }_t}a + {{\log }_t}b} \right) - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\\P = 30{\log _t}\left( {ab} \right) - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\\P = 30{\log _t}\dfrac{{{t^{10}}}}{c} - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\\P = 30.\left( {10 - {{\log }_t}c} \right) - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\\P = 300 - \dfrac{{30}}{{{{\log }_c}t}} - \dfrac{1}{{225}}\log _c^2t\end{array}\)
Đặt \(u = {\log _c}t\), ta có: \(t > 1 \Rightarrow {\log _c}t > {\log _c}1 = 0\).
Khi đó biểu thức \(P\) trở thành: \(P = 300 - \dfrac{{30}}{u} - \dfrac{1}{{225}}{u^2}\) với \(u > 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P' = \dfrac{{30}}{{{u^2}}} - \dfrac{2}{{225}}u = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6750 - 2{u^3}}}{{225{u^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow u = 15\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta suy ra \(\max P = 297 \Leftrightarrow u = 15\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
