Cho các số thực \(x, \,\, y\) thỏa mãn \(\ln y \ge \ln \left( {{x^3} + 2} \right) - \ln 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(H = {e^{4y - {x^3} - x - 2}} - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + x\left( {y + 1} \right) - y\).

Câu 422296: Cho các số thực \(x, \,\, y\) thỏa mãn \(\ln y \ge \ln \left( {{x^3} + 2} \right) - \ln 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(H = {e^{4y - {x^3} - x - 2}} - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + x\left( {y + 1} \right) - y\).

A. \(\dfrac{1}{e}\).

B. \(0\).

C. \(e\).

D. \(1\).

Câu hỏi : 422296

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\ln y \ge \ln \left( {{x^3} + 2} \right) - \ln 3\\ \Leftrightarrow \ln y + \ln 3 \ge \ln \left( {{x^3} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \ln \left( {3y} \right) \ge \ln \left( {{x^3} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y \ge {x^3} + 2\\{x^3} + 2 > 0\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}H = {e^{4y - {x^3} - x - 2}} - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + x\left( {y + 1} \right) - y\\\,\,\,\,\,\, = {e^{4y - x - \left( {{x^3} + 2} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} + x - y\\\,\,\,\,\,\, \ge {e^{4y - x - 3y}} - \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} + x - y\\\,\,\,\,\,\, \ge {e^{y - x}} - \dfrac{{{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{2} - \left( {y - x} \right)\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}3y \ge {x^3} + 2\\{x^3} + 2 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - x} \right) \ge {x^3} - 3x + 2\\x > - \sqrt[3]{2}\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) với \(x > - \sqrt[3]{2}\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x > - \sqrt[3]{2}\).

\( \Rightarrow 3\left( {y - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow y - x \ge 0\).

Đặt \(t = y - x \ge 0\), xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} - \dfrac{{{t^2}}}{2} - t,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta có \(g'\left( t \right) = {e^t} - t - 1\).

Ta có: \(g''\left( t \right) = {e^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow {e^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\).

BBT hàm số \(y = g'\left( t \right)\):

Dựa vào BBT ta có \(g'\left( t \right) \ge 0\,\,\forall t \ge 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( t \right) = g\left( 0 \right) = 1\\ \Rightarrow g\left( t \right) \ge 1\,\,\,\forall t \ge 0\\ \Rightarrow H \ge g\left( t \right) \ge 1\,\,\,\forall t \ge 0\end{array}\)

Vậy \({H_{\min }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - x = 0\\3y = {x^3} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.