Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 42242:

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{x-1}{y^{2}}$ + $\frac{y-1}{z^{2}}$ + $\frac{z-1}{x^{2}}$ .

A. Min P = √3 + 2

B. Min P = √3 + 1

C. Min P = √3 - 1

D. Min P = √3 - 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42242

Giải chi tiết

Ta có

P = $\frac{x-1+y-1}{y^{2}}+\frac{y-1+z-1}{z^{2}}+\frac{z-1+x-1}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$

(1)

Mà $\frac{x-1+y-1}{y^{2}}$ + $\frac{y-1+z-1}{z^{2}}$ + $\frac{z-1+x-1}{x^{2}}$

= (x - 1)( $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ ) + (y - 1)( $\frac{1}{y^{2}}$ + $\frac{1}{z^{2}}$ ) + (z - 1)( $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{z^{2}}$ )

≥ (x - 1) $\frac{2}{xy}$ + (y - 1) $\frac{2}{yz}$ + (z - 1 ) $\frac{2}{xz}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

P ≥ $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ + $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + $\frac{1}{z^{2}}$ - 2( $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{zx}$ ) (3)

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{zx}$ = 1 (4)

Mà $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + $\frac{1}{z^{2}}$ ≥ $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{zx}$ = 1 (5)

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$ ≥ 3 ( $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{zx}$ ) => $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ≥ √3 (6)

Từ (3), (4), (5) suy ra P ≥ √3 - 1

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = √3.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.