Cho hàm số \(y = {x^6} + \left( {4 + m} \right){x^5} + \left( {16 - {m^2}} \right){x^4} + 2\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị \(m\) nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

Câu 422864: Cho hàm số \(y = {x^6} + \left( {4 + m} \right){x^5} + \left( {16 - {m^2}} \right){x^4} + 2\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị \(m\) nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 0\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

A. \(10.\)

B. \(9.\)

C. \(6.\)

D. \(3.\)

Câu hỏi : 422864

Quảng cáo

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 6{x^5} + 5\left( {4 + m} \right){x^4} + 4\left( {16 - {m^2}} \right){x^3}\\\,\,\,\,\,\, = {x^3}\left[ {6{x^2} + 5\left( {4 + m} \right)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right)} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 6{x^2} + 5\left( {4 + m} \right)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x = 0\) là nghiệm của đạo hàm nên để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) thì \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\).

TH1: \(x = 0\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\). Khi đó ta có: \(16 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 4\).

+ Với \(m = 4\) thì \(g\left( x \right) = 6{x^2} + 40x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{{20}}{3}\end{array} \right.\).

Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 4 của phương trình \(y' = 0\), do đó \(x = 0\) không là cực trị của hàm số.

\( \Rightarrow m = 4\) không thỏa mãn.

+ Với \(m = - 4\) thì \(g\left( x \right) = 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 5 của phương trình \(y' = 0\), do đó \(x = 0\) là cực tiểu của hàm số.

\( \Rightarrow m = - 4\) thỏa mãn.

TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 4\).

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 4\left( {16 - {m^2}} \right)\).

\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4\left( {16 - {m^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4\).

Kết hợp 2 TH ta có: \( - 4 \le m < 4\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\} = S\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \(1 + 2 + 3 = 6\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.