Có bao nhiêu \(m\) nguyên dương để bất phương trình \({3^{2x + 2}} - {3^x}\left( {{3^{m + 2}} + 1} \right)

Câu hỏi số 422863:

Vận dụng

Có bao nhiêu \(m\) nguyên dương để bất phương trình \({3^{2x + 2}} - {3^x}\left( {{3^{m + 2}} + 1} \right) + {3^m} < 0\) có không quá 30 nghiệm nguyên?

A. \(28.\)

B. \(29.\)

C. \(30.\)

D. \(31.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422863

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {3^x} > 0\), đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Giải bất phương trình bậc hai tìm nghiệm \(t\), từ đó suy ra nghiệm \(x\).

- Tìm điều kiện của \(m\) để bất phương trình có không quá 30 nghiệm nguyên.

Giải chi tiết

Đặt \({3^x} = t > 0\), khi đó ta có bất phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,9{t^2} - \left( {{3^{m + 2}} + 1} \right)t + {3^m} < 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - t - {3^{m + 2}}.t + {3^m} < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {9t - 1} \right) - {3^m}\left( {9t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {9t - 1} \right)\left( {t - {3^m}} \right) < 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) (gt) nên \({3^m} > {3^1} > \dfrac{1}{9}\), do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} < t < {3^m}\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} < {3^x} < {3^m} \Leftrightarrow - 2 < x < m\).

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) và bất phương trình có không quá 30 nghiệm nên \(m \le 29\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;...;29} \right\}\).

Vậy có 29 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.