Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\)

Câu hỏi số 423156:

Vận dụng cao

Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.

b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).

c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423156

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.

Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:

\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).

Ta có:\(OB = OC = R\)

\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)

\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:

\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:

\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)

Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link