Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) các đường cao
Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M \ne A.\)
a) Chứng minh \(\Delta BHM\) cân.
b) Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\) và \(AC.\) Chứng minh ba điểm \(P,\,\,H,\,\,Q\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\Delta BHM\) cân.
Ta có: \(AD,\,\,CF\) là hai đường cao của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CF \bot AB\\AD \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle AFC = \angle ADC = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ACDF\) ta có:
\(\angle AFC = \angle EDC = {90^0}\)
Mà đỉnh \(F,\,\,D\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow ACDF\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle DAC = \angle DFC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DC\))
Hay \(\angle MAC = \angle DFC.\) (1)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
\(\angle MBC\) và \(MAC\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)
\( \Rightarrow \angle MBC = \angle MAC\) (2)
Xét tứ giác \(BFHD\) ta có:
\(\angle BFH + \angle BDH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow BFHD\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle HFD = \angle HBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))
Hay \(\angle CFD = \angle HBD\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle HBD = \angle CBM\) hay \(\angle HBD = \angle DBM\)
\( \Rightarrow BD\) là đường phân giác của \(\Delta BHM\)
Xét \(\Delta HBM\) ta có: \(BD\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác
\( \Rightarrow \Delta BHM\) cân tại \(B.\) (đpcm)
b) Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\) và \(AC.\) Chứng minh ba điểm \(P,\,\,H,\,\,Q\) thẳng hàng.
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(PM,\) \(J\) là giao điểm của \(AC\) mà \(MQ.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot PM = \left\{ I \right\}\\AC \bot MQ = \left\{ J \right\}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác \(IBDM\) ta có:
\(\angle BIM + \angle BDM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow IBDM\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle IMB = \angle IDB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IB\)).
Xét tứ giác \(MDJC\) ta có:
\(\angle MDC = \angle MJC = {90^0}\)
Mà hai góc này là hai góc kề nhau
\( \Rightarrow MDJC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle JDC = \angle JMC\) (hai góc nội tiếp cùng chán cung \(JC\))
Tứ giác \(ABMC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle IBM = \angle ACM\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)
Ta có: \(\Delta BIM\) vuông tại \(I\) \( \Rightarrow \angle IBM + \angle IMB = {90^0}\) (2)
\(\Delta JMC\) vuông tại \(J\) \( \Rightarrow \angle JMC + \angle JCM = {90^0}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\angle BMI = \angle BDI = \angle JDC = \angle JMC\)
\( \Rightarrow \angle BDI,\,\,\angle JDC\) là hai góc đối đỉnh
\( \Rightarrow I,\,\,D,\,\,J\) thẳng hàng.
Ta có:\(\Delta BHD\) là tam giác cân tại \(B\) (cmt) có đường cao \(BD\)
\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(HM.\) (tính chất tam giác cân)
Xét \(\Delta PHM\) ta có:
\(D,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(MH,\,\,MP\)
\( \Rightarrow DI\) là đường trung bình của \(\Delta PHM\)
\( \Rightarrow DI//PH\) (tính chất đường trung bình).
\( \Rightarrow PH//IJ\) (4)
Xét \(\Delta MHQ\) ta có:
\(D,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(MH,\,\,MQ\)
\( \Rightarrow DJ\) là đường trung bình của \(\Delta MHQ\)
\( \Rightarrow DJ//HQ\) (tính chất đường trung bình).
\( \Rightarrow HQ//IJ\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(P,\,\,H,\,\,Q\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
