Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường cao \(AM,\,\,BN\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh \(MN\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) các đường cao \(AM,\,\,BN\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH.\)
Quảng cáo
Gọi \(O\) là trung điểm của \(AH\) \( \Rightarrow O\) là tâm của đường tròn đường kính \(AH.\)
Ta có: \(BN\) là đường cao của \(\Delta ABC\) ..
\( \Rightarrow \Delta ANH\) vuông tại \(N\) \( \Rightarrow N \in \left( O \right).\) (*)
Xét \(\Delta ANH\) vuông tại \(N\) có đường trung tuyến \(ON\)
\( \Rightarrow ON = OH = \dfrac{1}{2}AH\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).
\( \Rightarrow \Delta ONH\) cân tại \(O\) (định nghĩa tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle ONH = \angle OHN\) (tính chất tam giác cân) (1)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) có đường cao \(AM \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\) (tính chất \(\Delta \) cân).
Xét \(\Delta BCN\) vuông tại \(N\) có đường trung tuyến \(MN\)
\( \Rightarrow MN = BM = \dfrac{1}{2}BC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).
\( \Rightarrow \angle MBN = \angle MNB\) (tính chất tam giác cân). (2)
Lại có: \(\angle MHB + \angle HBM = {90^0}\) (\(\Delta BHM\)vuông tại \(M\))
Hay \(\angle MHB + \angle NBM = {90^0}\)
Mặt khác \(\angle BHM = \angle OHN\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle OHN + \angle HBM = {90^0}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: \(\angle MNB + \angle HNO = {90^0}\)
Hay \(MN \bot ON\) (**)
Từ (*) và (**) \( \Rightarrow MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH.\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
