Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 42351:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)}$ + $\frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)}$ + $\frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)}$

A. minP = -24

B. minP = -9

C. minP = 9

D. minP = 24

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42351

Giải chi tiết

ta áp dụng bất đẳng thức: Với hai số x; y bất kì ta có

(x + y)² ≥ 4xy. Dấu bằng xảy ra <=> x = y

Ta có

(1 + a)² (1 + b)² = [(1 + a)(1 + b)]² = [(1 + ab) + (a + b)]²

≥ 4(1 + ab)(a + b)

$\frac{(1 + a)^2 (1 + b)^2}{(1 + c^2)}$ ≥ $\frac{4(1 + ab)(a + b)}{(1 + c^2)}$

= $\frac{4a(1 + b^2)+ 4b(1 + a^2)}{(1 + c^2)}$ = 4a $\frac{1 + b^2}{1 + c^2}$ + 4b $\frac{1 + a^2}{1 + c^2}$

Chứng minh tương tự ta có

$\frac{(1 + c)^2 (1 + b)^2}{(1 + a^2)}$ ≥ 4b $\frac{1 + c^2}{1 + a^2}$ + 4c $\frac{1 + b^2}{1 + a^2}$

$\frac{(1 + c)^2 (1 + a)^2}{(1 + b^2)}$ ≥ 4c $\frac{1 + a^2}{1 + b^2}$ + 4a $\frac{1 + c^2}{1 + b^2}$

Ta có $\frac{1 + b^2}{1 + c^2}$ + $\frac{1 + c^2}{1 + b^2}$ ≥ 2

$\frac{1 + c^2}{1 + a^2}$ + $\frac{1 + a^2}{1 + c^2}$ ≥ 2

$\frac{1 + a^2}{1 + b^2}$ + $\frac{1 + b^2}{1 + a^2}$ ≥ 2

=> P ≥ 8(a + b + c) = 24

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.