Cho phương trình:\({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 2m = 0\) (với \(m\) là tham số) a) Giải phương trình

Câu hỏi số 423539:

Vận dụng

Cho phương trình:\({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 2m = 0\) (với \(m\) là tham số)

a) Giải phương trình với \(m = 1.\)

b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(a)\,\,S = \left \{ - 2;1 \right \}\\c)\,\,m = - 3\)

B. \(a)\,\,S = \left \{ 2; - 1 \right \}\\c)\,\,m = - 3\)

C. \(a)\,\,S = \left \{ 2; - 1 \right \}\\c)\,\,m = - 1\)

D. \(a)\,\,S = \left \{ - 2;1 \right \}\\c)\,\,m = - 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:423539

Giải chi tiết

a) Giải phương trình với \(m = 1.\)

Với \(m = 1\) ta có phương trình: \(\,{x^2} + \left( {2.1 - 1} \right)x - 2.1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

Phương trình có: \(a + b + c = 1 + 1 - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2\end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}.\)

b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

Xét phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 2m = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4.2m\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 4m + 1 + 8m\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1\\\,\,\,\,\, = {\left( {2m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm \(m\) để \(A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Pphương trình đã cho luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m + 1\\{x_1}{x_2} = - 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 4{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 6.2m\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 4m + 1 + 12m\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 8m + 1\\\,\,\,\,\, = 4\left( {{m^2} + 2m} \right) + 1\\\,\,\,\,\, = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 4 + 1\\\,\,\,\,\, = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\end{array}\)

Vì \({\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\) \( \Rightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 3 \ge - 3\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow A\) đạt giá trị nhỏ nhất \( = - 3.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link