Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 3}

Câu hỏi số 424144:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 3} \right){x^2} - 3m + 11\) có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) thẳng hàng là:

A. \(m = \dfrac{{9 \pm \sqrt {33} }}{4}\)

B. \(m = 3,\,\,m = 6\)

C. \(m = \dfrac{{27 \pm \sqrt {33} }}{6}\)

D. \(m = \dfrac{{27 \pm \sqrt {249} }}{{12}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424144

Phương pháp giải

+ Tìm điều kiện để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

+ CTGN phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \(y = \left( {\dfrac{{2c}}{3} - \dfrac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + \left( {d - \dfrac{{bc}}{{9a}}} \right)\).

+ Các điểm cực trị và điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(N\) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.

+ Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số, tìm \(m\) và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 3} \right)x = 6x\left( {x + m - 3} \right)\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3 - m\end{array} \right.\).

+ Để hàm số có 2 điểm cực trị thì \(3 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là:

\(y = \left( { - \dfrac{{2.9{{\left( {m - 3} \right)}^2}}}{{9.2}}} \right)x + \left( { - 3m + 11} \right)\)\( \Leftrightarrow y = - {\left( {m - 3} \right)^2}x - 3m + 11\) \(\left( d \right)\).

+ Để các điểm cực trị và điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) thẳng hàng thì \(N \in \left( d \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 = - {\left( {m - 3} \right)^2}.2 - 3m + 11\\ \Leftrightarrow - 1 = - 2{m^2} + 12m - 18 - 3m + 11\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 9m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{9 \pm \sqrt {33} }}{4}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{{9 \pm \sqrt {33} }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.