Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực. Biết

Câu hỏi số 424159:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực. Biết \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(m,\,\,n\) sao cho đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {m;f\left( m \right)} \right)\), \(B\left( {n;f\left( n \right)} \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\). Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = abc + ab + c\) là:

A. \( - 9\)

B. \( - \dfrac{{25}}{9}\)

C. \( - \dfrac{{16}}{{25}}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424159

Phương pháp giải

+ Tìm điều kiện để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

+ CTGN phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \(y = \left( {\dfrac{{2c}}{3} - \dfrac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + \left( {d - \dfrac{{bc}}{{9a}}} \right)\).

+ Thay tọa độ điểm \(O\) vào phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, biểu diễn \(c\) theo \(ab\).

+ Đưa biểu thức \(S\) về dạng tam thức bậc hai đối với ẩn \(ab\) và tìm \({S_{\min }}\).

Giải chi tiết

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2ax + b = 0\,\,\left( * \right)\).

+ Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow \Delta ' = {a^2} - 3b > 0 \Leftrightarrow {a^2} > 3b\).

+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là: \(y = \left( {\dfrac{{2b}}{3} - \dfrac{{2{a^2}}}{9}} \right)x + \left( {c - \dfrac{{ab}}{9}} \right)\) \(\left( d \right)\).

+ \(O \in \left( d \right) \Rightarrow 0 = c - \dfrac{{ab}}{9} \Leftrightarrow ab = 9c\).

+ Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = abc + ab + c = \dfrac{1}{9}{\left( {ab} \right)^2} + ab + \dfrac{1}{9}ab\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{9}{\left( {ab} \right)^2} + \dfrac{{10}}{9}ab\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{9}\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} + 10ab + 25} \right] - \dfrac{{25}}{9}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{9}{\left( {ab + 5} \right)^2} - \dfrac{{25}}{9} \ge - \dfrac{{25}}{9}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow ab = - 5\).

Vậy \({S_{\min }} = - \dfrac{{25}}{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = - 5\\{a^2} > 3b\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.