Khoảng cách từ điểm \(P\left( {3;1} \right)\) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ
Khoảng cách từ điểm \(P\left( {3;1} \right)\) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - \left( {{m^2} - 2} \right)x + {m^2}\) có giá trị lớn nhất bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Tìm điều kiện để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
+ CTGN phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\): \(y = \left( {\dfrac{{2c}}{3} - \dfrac{{2{b^2}}}{{9a}}} \right)x + \left( {d - \dfrac{{bc}}{{9a}}} \right)\,\,\left( d \right)\).
+ Xác định điểm cố định thuộc đường thẳng \(d\).
+ Nhận xét: \(d\left( {P;d} \right) \le PI\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow PI \bot d\).
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y' = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2 = 0\,\,\left( * \right)\).
+ Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow \Delta ' = 9 - 3\left( { - {m^2} + 2} \right) = 3{m^2} + 3 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là:
\(y = \left( { - \dfrac{{2\left( {{m^2} - 2} \right)}}{3} - \dfrac{{{{2.3}^2}}}{{9.1}}} \right)x + \left( {{m^2} - \dfrac{{3\left( {{m^2} - 2} \right)}}{{9.1}}} \right)\) \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}x + \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}\) \(\left( d \right)\).
+ Ta có:
\(\begin{array}{l}y = - \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}x + \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}\\ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 3y\\ \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - x} \right) + 2 - 2x - 3y = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
(**) đúng với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 0\\2 - 2x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(I\left( {1;0} \right)\) với mọi \(m\).
+ Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên đường thẳng \(\left( d \right)\) ta có: \(d\left( {P;d} \right) = PH \le PI\).
\( \Rightarrow P{H_{\max }} = PI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 5 \Leftrightarrow PI \bot \left( d \right)\).
+ \(\overrightarrow {PI} = \left( { - 2; - 1} \right)\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\,y = - \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}x + \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}x + y - \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3} = 0\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3}} \right)\).
Vì \(PI \bot d \Rightarrow \overrightarrow {PI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2.1 + \dfrac{{2{m^2} + 2}}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2 = 6\\ \Leftrightarrow 2{m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \(d{\left( {P;d} \right)_{\max }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
