Cho hai điểm \(A,\,\,B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(xy\) (\(AB\) không

Câu hỏi số 424370:

Vận dụng cao

Cho hai điểm \(A,\,\,B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(xy\) (\(AB\) không vuông góc với \(xy\)). Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(xy,\) \(C\) là giao điểm của \(A'B\) và \(xy.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì khác \(C\) thuộc đường thẳng \(xy\). Chứng minh rằng: \(AC + CB < AM + MB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424370

Phương pháp giải

Áp dụng định nghĩa, tính chất đường trung trực : Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đấy tại trung điểm của nó. Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Áp dụng định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Giải chi tiết

Ta có: \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(xy\)

\( \Rightarrow xy\) là đường trung trực của \(AA'\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CA = CA'\\MA = MA'\end{array} \right.\) (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC + BC = A'C + BC = A'B\,\,\,\,\left( 1 \right)\\MA + MB = MA' + MB\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét \(\Delta MA'B\) ta có: \(A'B < A'M + MB\) (bất đẳng thức tam giác) \(\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(AC + CB < AM + MB.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link