Giải phương trình \(4\cos x\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) =

Câu hỏi số 424879:

Vận dụng

Giải phương trình \(4\cos x\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = \cos 2x\).

A. \(x = k2\pi ;\,\,x = \, \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

B. \(x = \dfrac{{ \pi }}{6} + k\pi ;\,\,x = \, \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(x = k2\pi ;\,\,x = \, \pm \arcsin \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

D. Vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424879

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba đối với hàm số \(\cos x\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\cos x\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4\cos x.\left( { - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{3} - \cos 2x} \right)} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow - 2\cos x\left( {\dfrac{1}{2} - \cos 2x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow - \cos x + 2\cos x\cos 2x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow - \cos x + 2\cos x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = 2{\cos ^2}x - 1\\ \Leftrightarrow - \cos x + 4{\cos ^3}x - 2\cos x = 2{\cos ^2}x - 1\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - 1} \right)\left( {4{{\cos }^2}x + 2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = k2\pi ;\,\,x = \, \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.