Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các đường cao
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các đường cao \(AD,\,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).
1. Chứng minh tứ giác \(BDHF\) nội tiếp đường tròn.
2. \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Chứng minh \(MN//EF\).
3. Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\).
Quảng cáo
1. Chứng minh tứ giác \(BDHF\) nội tiếp đường tròn.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC \Rightarrow \angle BFH = {90^0}\\CF \bot AB \Rightarrow \angle BDH = {90^0}\end{array} \right.\).
Xét tứ giác \(BDHF\) có \(\angle BFH + \angle BDH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BDHF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
2. \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Chứng minh \(MN//EF\).
Xét tứ giác \(BCEF\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\\CF \bot AB \Rightarrow \angle BFC = {90^0}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \angle BEC = \angle BFC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle {C_1} = \angle {E_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)).
Lại có \(\angle {C_1} = \angle {M_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BN\)).
\( \Rightarrow \angle {M_1} = \angle {E_1}\) \(\left( { = \angle {C_1}} \right)\).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
Vậy \(MN//EF\) (đpcm).
3. Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\).
Xét tứ giác \(CDHE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BE \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle CDH = {90^0}\\\angle CEH = {90^0}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \angle CDH + \angle CEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow CDHE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle {E_2} = \angle {C_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).
Lại có \(\angle {C_1} = \angle {E_1}\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow \angle {E_1} = \angle {E_2}\).
\( \Rightarrow EH\) là tia phân giác của \(\angle DEF\) (1).
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:
\(\angle {N_1} = \angle {F_1}\) (đồng vị do \(MN//EF\)).
\(\angle {N_1} = \angle {B_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\))
\(\angle {B_1} = \angle {F_2}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(DH\)).
\( \Rightarrow \angle {F_1} = \angle {F_2}\) \( \Rightarrow FH\) là tia phân giác của \(\angle DFE\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow H\) là giao điểm hai đường phân giác của tam giác \(DEF\).
Vậy \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
