Từ một điểm \(M\) ở ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) đến

Câu hỏi số 425104:

Vận dụng

Từ một điểm \(M\) ở ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) đến đường tròn (\(A,\,\,B\) là hai tiếp điểm). Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với với \(MB\) cắt đường tròn tại \(E,\) đoạn thẳng \(ME\) cắt đường tròn tại \(F.\) Hai đường thẳng \(AF\) và \(MB\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh:

1. Tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn.

2. \(I{B^2} = IF.IA.\)

3. \(IM = IB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:425104

Giải chi tiết

1. Tứ giác \(MAOB\) nội tiếp đường tròn.

Ta có:\(MA,\,\,MB\) là các tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) của \(\left( O \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot MA\\OB \bot MB\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle MAO = \angle MBO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(MAOB\) ta có:

\(\angle MAO + MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow MAOB\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm)

2. \(I{B^2} = IF.IA.\)

Xét \(\Delta IBF\) và \(\Delta IAB\) ta có:

\(\angle AIB\,\,\,chung\)

\(\angle IAB = \angle IBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BF\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta IBF \sim \Delta IAB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IA}} = \dfrac{{IF}}{{IB}} \Rightarrow I{B^2} = IA.IF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

3. \(IM = IB.\)

Ta có: \(AE//MB\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle AEM = \angle EMB\) (hai góc so le trong)

Hay \(\angle AEM = \angle FMI.\)

Lại có:\(\angle AEM = \angle MAI\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AF\))

\( \Rightarrow MAI = \angle IMF\,\,\left( { = \angle AEM} \right)\)

Xét \(\Delta MIF\) và \(\Delta AIM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle MIA\,\,\,chung\\\angle IMF = MAI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MIF \sim \Delta AIM\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{AI}} = \dfrac{{IF}}{{IM}} \Rightarrow M{I^2} = IA.IF\\ \Rightarrow M{I^2} = I{B^2} = IA.IF\\ \Rightarrow MI = IB\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link