Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và \(AA' = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Đổi tính \(d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)\), sau đó đổi tính \(d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)\).
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {A'AE} \right)\) kẻ \(AH \bot A'E\,\left( {H \in A'E} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\).
- Sử dụng tính chất tam giác đều và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).
Ta có: \(MC' \cap \left( {A'BC} \right) = C\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MC}}{{C'C}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)\end{array}\)
Gọi \(O = AC' \cap A'C\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC'\) (do \(ACC'A'\) là hình bình hành).
Ta có: \(C'A \cap \left( {A'BC} \right) = O\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{C'O}}{{AO}} = 1\).
\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C';\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trong \(\left( {A'AE} \right)\) kẻ \(AH \bot A'E\,\left( {H \in A'E} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AE} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot A'E\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AA'E\) ta có: \(AH = \dfrac{{AA'.AE}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Vậy \(d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
